$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $12$ घन इकाई है। $\vec{a} - \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}, \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ किनारों वाले चतुष्फलक (tetrahedron) का आयतन ............. घन इकाई होगा।

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन असमतलीय इकाई सदिश हैं,ताकि उनके प्रत्येक जोड़े के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ हो। यदि $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} = p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}$ है,जहाँ $p, q$ और $r$ अदिश हैं,तो $\frac{p^2 + 2q^2 + r^2}{q^2}$ का मान क्या है?

एक चतुष्फलक का आयतन, जिसकी कोरें $\hat{i}-\lambda \hat{j}+\hat{k}$, $\lambda \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$ हैं, $2$ है। यदि $\lambda$ एक पूर्णांक है, तो $|\lambda \hat{i}-3 \lambda \hat{j}+3 \hat{k}|=$

यदि $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + 3 \hat{k}$,$\overrightarrow{b} = -\beta \hat{i} - \alpha \hat{j} - \hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$ इस प्रकार हैं कि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1$ और $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = -3$,तो $\frac{1}{3}((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$ का मान ............ है।

एक इकाई सदिश $\vec{e} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$, सदिशों $\hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$ और $3 \hat{i} + \hat{j} - 5 \hat{k}$ के साथ समतलीय है। यदि $\vec{e}$, सदिश $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के लंबवत है, तो $2 a^2 + 3 b^2 + 4 c^2 =$

यदि $\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}$ और $\vec{c} \times \vec{a}$ कोरों वाले समांतर षट्फलक का आयतन $9 \text{ घन इकाई}$ है, तो $(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c}),(\vec{b} \times \vec{c}) \times(\vec{c} \times \vec{a})$ और $(\vec{c} \times \vec{a}) \times(\vec{a} \times \vec{b})$ कोरों वाले समांतर षट्फलक का आयतन क्या होगा?